I Do Maths · Persamaan Kuadrat – Melengkapkan Kuadrat

Lihat juga: persamaan kuadrat, rumus persamaan kuadrat, bilangan

Sebuah persamaan kuadrat dalam bentuk

a x^{2} + b x + c = 0

dapat kita cari akar-akarnya dengan mengubah bentuk di atas menjadi seperti di bawah ini:

a {(x + p)}^{2} + q = 0

dimana $p = \frac{b}{2 a}$ dan $q = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Kita bisa melengkapkan bentuk kuadrat untuk mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat sebab persamaan kuadrat dalam bentuk

{(x + m)}^{2} = n

dapat kita cari akar-akarnya dengan mudah, yaitu dengan cara mencari mengambil akar kuadrat dari kedua sisi dari persamaan di atas.

\begin{aligned} \sqrt{{(x + m)}^{2}} & = \pm \sqrt{n} \\ x + m & = \pm \sqrt{n} \\ x & = - m \pm \sqrt{n} \end{aligned}

Di bawah ini adalah langkah-langkah untuk mencari akar persamaan kuadrat dalam bentuk umum dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat.

Persamaan asli (dalam bentuk umum)	$a x^{2} + b x + c = 0$
Langkah ke-1. Bagi persamaan dengan $a$ agar koefisien dari $x^{2}$ menjadi $1$	$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$
Langkah ke-2. Pindahkan konstanta-konstanta ke sebelah kanan persamaan	$x^{2} + \frac{b x}{a} = - \frac{c}{a}$
Langkah ke-3. Tambahkan ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ke kedua sisi dari persamaan	$x^{2} + \frac{b x}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$
Langkah ke-4. Sekarang kita bisa menulis sisi sebelah kiri dari persamaan sebagai bentuk kuadrat sempurna	${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$
Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan	$\begin{aligned} \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}} & = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} \end{aligned}$
Langkah ke-6. Pindahkan konstanta yang di sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai $x$	$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}}$

Contoh:

Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$
Langkah ke-1. Kita tidak perlu melakukan langkah ini karena dalam persamaan ini $a = 1$

Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan persamaan
$x^{2} - 4 x = - 3$
Langkah ke-3. Tambahkan ${(\frac{4}{2})}^{2}$ ke kedua sisi persamaan (tambahkan $4$ )
$\begin{aligned} x^{2} - 4 x + 4 & = - 3 + 4 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = 1 \end{aligned}$
Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
${(x - 2)}^{2} = 1$
Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan
$\begin{aligned} \sqrt{{(x - 2)}^{2}} & = \pm \sqrt{1} \\ x - 2 & = \pm 1 \end{aligned}$
Langkah ke-6. Pindahkan konstanta dari sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai $x$
$\begin{aligned} x & = 2 \pm 1 \\ x_{1} & = 2 - 1 = 1 \\ x_{2} & = 2 + 1 = 3 \end{aligned}$
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$
Langkah ke-1. Kita tidak perlu melakukan langkah ini karena dalam persamaan ini $a = 1$

Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan persamaan
$x^{2} - 6 x = - 9$
Langkah ke-3. Tambahkan ${(\frac{6}{2})}^{2}$ ke kedua sisi persamaan (tambahkan $9$ )
$\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = - 9 + 9 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 \end{aligned}$
Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
${(x - 3)}^{2} = 0$
Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan
$\begin{aligned} \sqrt{{(x - 3)}^{2}} & = \pm \sqrt{0} \\ x - 3 & = 0 \end{aligned}$
Langkah ke-6. Pindahkan konstanta dari sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai $x$
$x = 3$
Dalam persamaan di atas, kita bisa juga langsung melompat ke langkah ke-4, sebab persamaan aslinya sudah merupakan bentuk kuadrat sempurna yang bisa kita tulis seperti di langkah ke-4.
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat
$2 x^{2} + 2 x + 5 = 0$
Langkah ke-1. Bagi persamaan dengan $2$
$x^{2} + x + \frac{5}{2} = 0$
Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan persamaan
$x^{2} + x = - \frac{5}{2}$
Langkah ke-3. Tambahkan ${(\frac{1}{2})}^{2}$ ke kedua sisi persamaan (tambahkan $\frac{1}{4}$ )
$\begin{aligned} x^{2} + x + \frac{1}{4} & = - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \\ x^{2} + x + \frac{1}{4} & = - \frac{9}{4} \end{aligned}$
Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
${(x + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{9}{4}$
Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan
$\begin{aligned} \sqrt{{(x + \frac{1}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{- \frac{9}{4}} \\ x + \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{- \frac{9}{4}} \end{aligned}$
Langkah ke-6. Pindahkan konstanta dari sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai $x$
$\begin{aligned} x & = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{- \frac{9}{4}} \\ x_{1} & = - \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2} \\ x_{2} & = - \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2} \end{aligned}$
Persamaan kuadrat ini memiliki 2 akar kompleks, seperti yang bisa kita harapkan, sebab diskriminan ( $b^{2} - 4 a c$ ) dari persamaan ini negatif.

By Jimmy Sie

Lihat juga: persamaan kuadrat, rumus persamaan kuadrat, bilangan

Melengkapkan Kuadrat

Kalkulator