參見：數、排列與組合

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如果一個事件的結果不影響另一事件的結果，那麼這兩個事件是獨立事件。反之，這兩個事件稱為非獨立事件。

例如：

• 投擲硬幣兩次，那麼第一次投擲的結果不影響第二次投擲的概率。
• 從一組52張的撲克牌中抽出兩張牌來，抽取一張大王的事件和抽取一張黑色牌的事件不是相互獨立的。因為在抽取第一張卡後，抽取第二張牌的概率就已經發生发生了變化。如果在抽取第一張牌後重新將牌放迴，那麼這兩個事件就是獨立事件。因為，牌的總數又變成了52張。

對於兩個獨立事件$A$和$B$，兩個獨立事件同時發生的概率$\mathbb{P}(A\cap B)$是兩個分別事件發生概率的乘積。

$$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)$$

例如，兩次投擲一個硬幣，那麼第一次得到正面第二次得到反面的概率是

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(正\cap 反)& =\mathbb{P}(正)\times \mathbb{P}(反)\\ & =0.5\times 0.5\\ & =0.25\end{array}$$

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兩個事件如果不可能同時發生，那麼這兩個事件是互斥事件。

例如：

• 拋一枚硬幣，得到正面的事件和得到反面的事件是互斥事件，因為它們不可能同時發生。
• 擲一枚骰子，得到1的事件和得到4的事件是互斥事件，因為它們不可能同時發生。但是得到3的事件和得到奇數的事件不是互斥事件，因為這種情況有可能同時發生。（即，得到3）。

對於兩個互斥事件$A$和$B$，任何一個事件發生的概率，$\mathbb{P}(A\cup B)$，是兩個分別事件發生的概率和。

$$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$$

例如，一個口袋裡含有3個籃球，2個綠球，和5個紅球，隨機抽取，那麼得到籃球或紅球的概率為

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(籃\cup 紅)& =\mathbb{P}(籃)+\mathbb{P}(紅)\\ & =\frac{3}{10}+\frac{5}{10}\\ & =\frac{8}{10}\\ & =0.8\end{array}$$

對於非互斥事件，任何一個事件發生的概率与兩個事件同時發生的概率為：

$$\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$$

在這裡，$\mathbb{P}(A\cap B)$是事件$A$和$B$同時發生的時的概率。

例如，從一組52張得撲克牌中抽取一張牌，得到的是紅色牌或是大王的概率是

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(紅\cup 王)& =\mathbb{P}(紅)+\mathbb{P}(王)-\mathbb{P}(紅\cap 王)\\ & =\frac{26}{52}+\frac{4}{52}-\frac{2}{52}\\ & =\frac{28}{52}\\ & =\frac{7}{13}\end{array}$$

之所以如此是因為，一張卡片要麼是紅色，要麼是大王，要麼兩者兼顧(即紅色大王)。這就是為什麼我們要減法兩者兼顧時的概率。因為它們之前在計算抽取紅牌時时的概率和在抽取大王時的概率時已經被算進去过過了。

Jimmy Sie（著）
張芙（譯）

參見：數、排列與組合