參見：數、排列與組合

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對於兩個事件$A$和$B$，$A$的條件概率就是在$B$發生（或不發生）條件下$A$的概率。

“$B$條件下的$A$”的條件概率可用以下公式表示：

$$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$$

如果事件$A$和$B$是獨立事件，則， $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\times \mathbb{P}(B)$ 。因此，

$$\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$$ $$\mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}(B)$$

因為$A$和$B$是獨立事件，$B$條件下的$A$的概率就是$A$的概率（無論$B$發生或不發聲）。

例如：

某個地區一年中的任何一天，多雲天氣的概率是0.4。已知任何一天多雲天氣与下雨的概率是0.3。假如今天是多雲天氣，那麼今天下雨的概率是多少？

例如：

• 某個地區一年中的任何一天，多雲天氣的概率是0.4。已知任何一天多雲天氣与下雨的概率是0.3。假如今天是多雲天氣，那麼今天下雨的概率是多少？

  假設$C$為多雲事件，$R$是下雨事件，則

  $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(C)& =0.4\\ \mathbb{P}(R\cap C)& =0.3\\ \mathbb{P}(R\mid C)& =\frac{\mathbb{P}(R\cap C)}{\mathbb{P}(C)}\\ & =\frac{0.3}{0.4}\\ & =0.75\end{array}$$

• 某個城市裡男女比例是6：4 。 30%的男人是素食主義者，那麼這個城市居民中男性素食者佔多大比例？

  假設$M$為隨機抽取的男性居民事件，$V$為隨機抽取的素食者事件。

  $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(M)& =0.6\\ \mathbb{P}(V\mid M)& =0.3\\ \mathbb{P}(V\mid M)& =\frac{\mathbb{P}(V\cap M)}{\mathbb{P}(M)}\\ 0.3& =\frac{\mathbb{P}(V\cap M)}{0.6}\\ \mathbb{P}(V\cap M)& =0.3\times 0.6\\ \mathbb{P}(V\cap M)& =0.18\end{array}$$

  所以該城市中男性素食者的比例為18%。

Jimmy Sie（著）
張芙（譯）

參見：數、排列與組合