Lihat juga: matriks, eliminasi Gauss-Jordan, Transformasi linier geometris


Gunakan kalkulator di bawah ini untuk mencari solusi dari sistem persamaan linier dengan 2, 3 ataupun sampai 10 variabel.

Lihat di bawah untuk belajar berbagai macam metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

Kalkulator Sistem Persamaan Linier

Pilih berapa variabel di dalam sistem persamaan

memuat . . .
menghitung . . .

Tolong laporkan kesalahan ke [email protected]. Terima kasih.


Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

{ x + y z = 1 (1) 8x + 3y 6z = 1 (2) 4x y + 3z = 1 (3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3) . Koefisien untuk y adalah 1 dan 1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4) .

x + y z = 1 (1) 4x y + 3z = 1 (3) ------------------------ + 3x + 0 + 2z = 2 (4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4) . Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2) . Dalam persamaan (1) dan (2) , koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1) .

x + y z = 1 (1) × 3 8x + 3y 6z = 1 (2)
3x + 3y 3z = 3 (1) 8x + 3y 6z = 1 (2) ------------------------ 5x + 0y + 3z = 2 (5)

Dengan persamaan (4) dan (5) , mari kita coba untuk menghilangkan z.

3x + 2z = 2 (4) × 3 5x + 3z = 2 (5) × 2
9x + 6z = 6 (4) 10x + 6z = 4 (5) ------------------------ +01x + 0z = 2 (6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x=2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

3(2) + 2z = 2 (4) 6 + 2z = 2 2z = 2+6 2z = 8 z = 8 ÷ 2 z = 4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari x dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.

2+y4 =1 (1) y =12+4 y =3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x=2, y=3, z=4.


Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) ssupaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x=1y+z (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2) .

8 (1y+z) +3y 6z =1 (2) 8 8y +8z +3y 6z =1 5y +2z =18 5y +2z =7 (4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3) .

4 (1y+z) y +3z =1 (3) 4 +4y 4z y +3z =1 3y z =1+4 3y z =5 (5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z=3y5 (5)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4) .

5y +2 (3y5) =7 (4) 5y +6y10 =7 y =7+10 y =3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (5) untuk mencari z.

z =3 (3) 5 (5) z =9 5 z =4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y and z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x =13+4 (1) x =2

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

{ x + y =3 2x y =3

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.

Graf dari kedua persamaan menunjukkan titik potong garis-garis persamaan.

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x=0, y=3.

Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.


Metode Matriks Invers

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1) , (2) dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks sebagai berikut

AB =C 1 2 1 8 3 6 4 1 3 x y z = 1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A1 AB = A1 C B = A1 C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A−1. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A1. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A1 = 3 2 3 0 1 2 4 3 5 B = 3 2 3 0 1 2 4 3 5 1 1 1 B = 2 3 4

Jadi solusinya adalah x=2, y=3, z=4.

Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.


Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan (1) , (2) dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi seperti berikut

A= 1 1 1 | 1 8 3 6 | 1 4 1 3 | 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A= 1 0.375 0.75 | 0.125 0 1 0.4 | 1.4 0 0 1 | 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A= 1 0 0 | 2 0 1 0 | 3 0 0 1 | 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x=2, y=3, z=4.

Untuk melihat secara mendetil operasi baris yang diperlukan, silakan melihat halaman tentang Eliminasi Gauss-Jordan.

By Jimmy Sie

See also: matrix, Gauss-Jordan elimination, Geometric Linear Transformation